sinh-Poisson 方程的多重爆破现象

我们考虑 sinh-Poisson 方程 $$(P)_\lambda\quad -\Delta u=\la\sinh u\ \hbox{in}\ \Omega,\ u=0\ \hbox{on}\ \partial\Omega,$$ 其中 $\Omega$ 是 $\rr^2$ 中的光滑有界区域，$\lambda$ 是一个小的正参数。如果 $0\in\Omega$ 且 $\Omega$ 关于原点对称，则对于任意整数 $k$，当 $\la$ 足够小时，我们构造了 $(P)_\la$ 的一族在原点处爆破的解，其正质量为 $4\pi k(k-1)$，负质量为 $4\pi k(k+1)$。这完全回答了 Jost-Wang-Ye-Zhou 在 [Calc. Var. PDE (2008) 31: 263-276] 中提出的一个开放问题。