具有奇异数据的 Liouville 方程的多重爆破解

我们研究以下边值问题具有多重集中解的存在性：$$-\Delta u=\e^2 e^u-4\pi \sum_{p\in Z}\alpha_p \delta_{p}\;\hbox{in} \Omega,\quad u=0 \;\hbox{on}\partial \Omega,$$ 其中 $\Omega$ 是 $\R^2$ 中的光滑有界域，$\alpha_{p}$ 为正数，$Z\subset \Omega$ 为有限集，$\delta_p$ 定义为 $p$ 处的 Dirac 质量，且 $\e>0$ 为小参数。特别是，我们将 Del-Pino-Kowalczyk-Musso (\cite{delkomu}) 的结果推广到多个奇异源的情况。更确切地说，我们证明了在权重 $\alpha_p$ 的适当限制下，存在一个解，其爆破点 $\xi_j\in \Omega\setminus Z$ 的数量最多可达 $\sum_{p\in Z}\max\{n\in\N\,|\, n<1+\alpha_p\}$。