带边界黎曼曲面上具有非量子化奇点的平均场方程的爆破解

我们研究了带边界$（\Sigma,g）$的紧致黎曼曲面上的具有奇异源的平均场方程，受齐次Neumann边界条件约束：$$-\Delta_g v = \rho\left( \frac{V e^{v}}{\int_\Sigma V e^{v}\, d v_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) - \sum_{\xi\in Q} \frac{\varrho(\xi)}{2}\gamma(\xi) \left(\delta_{\xi}- \dfrac{1}{|\Sigma|_g}\right) \text{in }\Sigma; \qquad \partial_{\nu_g} v = 0 \text{ on }\partial\Sigma.$$ 这里，$V$是一个光滑正函数，$\rho$是一个非负参数，$Q\subset\Sigma$是有限个指定奇点，奇异权重满足$\gamma(\xi)\in(-1,+\infty)\setminus(\mathbb{N}\cup\{0\})$。系数由$\varrho(\xi)=8\pi$（对于$\xi \in\Sigma\setminus\partial\Sigma$）和$\varrho(\xi)=4\pi$（对于$\xi \in\partial\Sigma$）给出。我们在非量子化奇异区域构造爆破解，包括纯奇异和混合奇异-正则爆裂情况，参数接近共振值。该构造通过Lyapunov-Schmidt约化在适当的稳定性假设下实现。关键词：奇异平均场方程，爆裂现象，Lyapunov-Schmidt约化，带边界黎曼曲面