不稳定自由边界问题解的爆破与自由边界的分类

通常，方程 $$\Delta u(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})\chi_{\{u>\psi\}}$$ 的解 $u$ 不是 $C^{1,1}$ 的，即使 $f$ 光滑且 $\psi(\mathbf{x})\equiv0$。$u$ 非 $C^{1,1}$ 的点称为奇异点，所有此类点的集合称为奇异集。在本文中，我们分析在 $\mathbb{R}^{3}$ 中靠近奇异点 $\mathbf{x}^{0}=(x^{0},y^{0},z^{0})$ 的爆破、自由边界 $\partial\{u>\psi\}$ 以及奇异集。我们证明形式为 $$\lim_{j\to\infty}\frac{u(r_{j}\cdot+\mathbf{x}^{0})}{\|u\|_{L^{\infty}(B_{r_{j}}(\mathbf{x}^{0}))}},$$ $r_{j}\to0^{+}$ 的爆破是唯一的，自由边界 $\partial\{u>\psi\}$ 在旋转意义下接近于曲面 $(x-x^{0})^{2}+(y-y^{0})^{2}=2(z-z^{0})^{2}$ 或 $(x-x^{0})^{2}=(z-z^{0})^{2}$，且奇异点要么是孤立的，要么包含于一条 $C^{1}$ 曲线中。证明的方法基于将解 $u$ 投影到调和的二次齐次多项式空间上。