超导性自由边界问题的 blow-up 唯一性

我们研究了自由边界方程[$$\\Delta u=\\chi_{\{|\\nabla u|>0\}}$$]在原点附近的行为。我们证明，在$\\partial{\{|\\nabla u|>0\}}$的奇点处，二次 blow-up是唯一的。正如 \\cite[Notes to Chapter 7]{PSU2012}所述，关于这一问题的奇异集几乎没有研究。常用的Weiss--Monneau 单调性论证似乎无法直接应用，因为inactive集由$\\nabla u$的vanishing决定，而不是由$u$的符号条件决定。该证明遵循二次部分的rescaling。通过投影到迹自由二次谐波，可以得到二次系数的有限维微分方程。结合Lyapunov恒等式和dyadic环的估计，这导致二次系数的收敛，从而保证 blow-up的唯一性。