有界域上临界 Hartree 方程爆裂解的地方唯一性

本文关注如下临界 Hartree 方程 \begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u =\displaystyle{\Big(\int_{\Omega}\frac{u^{2_{\mu}^\ast} (\xi)}{|x-\xi|^{\mu}}d\xi\Big)u^{2_{\mu}^\ast-1}}+\varepsilon u ,~~~\text{in}~\Omega,\\ u=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{on}~\partial\Omega, \end{cases} \end{equation*} 其中 $N\geq4$，$0<\mu\leq4$，$\varepsilon>0$ 为小参数，$\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中的有界域，$2_{\mu}^\ast=\frac{2N-\mu}{N-2}$ 为 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式意义下的临界指数。通过建立多种形式的局部 Pohozaev 恒等式并应用爆裂分析，我们首先研究了上述 Hartree 方程单泡解爆裂点的位置。接着我们证明了对于小 $\varepsilon$，聚集在 Robin 函数非退化临界点处的爆裂解的地方唯一性。