具有渐近消失奇点的 Hardy-Sobolev 方程：最小能量的爆破分析

我们研究了一族方程的正解序列 $(u_{\epsilon})_{\epsilon >0}$ 当 $\epsilon \to 0$ 时的渐近行为：\begin{equation*} \left\{\begin{array}{ll} \Delta u_{\epsilon}+a(x)u_{\epsilon}= \frac{u_{\epsilon}^{2^*(s_{\epsilon})-1}}{|x|^{s_{\epsilon}}}& \hbox{ in }\Omega\\ u_{\epsilon}=0 & \hbox{ on }\partial\Omega. \end{array}\right. \end{equation*} 其中 $(s_{\epsilon})_{\epsilon >0}$ 是一列正实数满足 $\lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} s_{\epsilon}=0$，$2^{*}(s_{\epsilon}):= \frac{2(n-s_{\epsilon})}{n-2}$，且 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ 是一个有界光滑区域使得 $0 \in \partial \Omega$。当序列 $(u_{\epsilon})_{\epsilon >0}$ 在 $L^{\infty}$ 中一致有界时，则存在一个子列强收敛到具有临界增长的稳态薛定谔方程的一个极小化解。在序列爆破的情况下，我们得到了对爆破序列的强逐点控制，然后利用 Pohozaev 恒等式对奇点进行定位（此时奇点至多一个），并推导出精确的爆破速率。特别地，当 $n=3$ 或 $a\equiv 0$ 时，爆破只能发生在 $\Omega$ 的内点或边界点 $0 \in \partial \Omega$ 处。