带变号非线性的椭圆方程奇异解的尖锐渐近剖面示例

前两位作者 [Proc. Lond. Math. Soc. (3) {\bf 114}(1):1--34, 2017] 对具有临界 Hardy--Sobolev 增长的扰动椭圆方程 $$-\Delta u=|x|^{-s} u^{2^\star(s)-1} -\mu u^q \hbox{ in }B\setminus\{0\},$$ 的所有正解在零附近的行为进行了分类，其中 $B$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中中心在 $0$ 的开单位球（$n\geq 3$），$s\in (0,2)$，$2^\star(s):=2(n-s)/(n-2)$，$\mu>0$ 且 $q>1$。对于 $q\in (1,2^\star-1)$（其中 $2^\star=2n/(n-2)$），前述文献表明在 $0$ 处具有不可去奇点的正解可表现出至多三种不同的奇异剖面，尽管其存在性当时未决。在本文中，我们在最大可能范围内对全部三种奇异剖面的存在性问题予以解决。作为 $\mu>0$ 时的重要新结果，我们证明了对每个 $q\in (2^\star(s) -1,2^\star-1)$，存在无穷多个满足当 $|x|\to 0$ 时 $|x|^{s/(q-2^\star(s)+1)}u(x)\to \mu^{-1/(q-2^\star(s)+1)}$ 的正解，使用了动力系统方法。此外，我们证明存在正奇异解满足 $\liminf_{|x|\to 0} |x|^{(n-2)/2} u(x)=0$ 且 $\limsup_{|x|\to 0} |x|^{(n-2)/2} u(x)\in (0,\infty)$，当且仅当 $q\in (2^\star-2,2^\star-1)$。