具有变号非线性的椭圆方程奇异解的精确渐近轮廓

给定 $B_1(0)$ 为 $\mathbb{R}^n$ ($n\geq 3$) 中的单位球，我们研究 $-\Delta u=\frac{u^{2^\star(s)-1}}{|x|^s}-\mu u^q$ 的光滑正奇异解 $u\in C^2(B_1(0)\setminus \{0\})$。此处 $0< s<2$，$2^\star(s):=2(n-s)/(n-2)$ 是 Sobolev 嵌入的临界指数，$q>1$ 且 $\mu> 0$。当 $\mu=0$ 且 $s=0$ 时，奇点 $0$ 处的轮廓已由 Caffarelli-Gidas-Spruck 完整描述。我们证明当 $\mu>0$ 且 $s>0$ 时，除该轮廓外，可能出现两种新轮廓。我们给出了所有奇异轮廓的完整描述。特别关注满足 $\liminf_{x\to 0}|x|^{\frac{n-2}{2}}u(x)=0$ 且 $\limsup_{x\to 0}|x|^{\frac{n-2}{2}}u(x)\in (0,+\infty)$ 的解。特例 $q=(n+2)/(n-2)$ 需要单独分析，我们也给出了该分析。