关于具有临界指数的双调和椭圆方程的 Delaunay 解

我们关注方程 \begin{equation} \label{0.0} \Delta^2 u=u^{\frac{n+4}{n-4}} \;\;\mbox{在 $\mathbb{R}^n \backslash \{0\}$ 中，且 0 是 $u(x)$ 的不可去奇点} \end{equation} 的正整体解 $u \in C^4 (\mathbb{R}^n \backslash \{0\})$ 的定性性质。由 [Theorem 4.2] 已知，\eqref{0.0} 的任何正整体解 $u$ 关于 $x=0$ 径向对称，即 $u(x)=u(|x|)$，且方程 \eqref{0.0} 还有一个特殊的正整体解 $u_s (x)=\Big(\frac{n^2 (n-4)^2}{16} \Big)^{\frac{n-4}{8}} |x|^{-\frac{n-4}{2}}$。我们首先证明，对于 \eqref{0.0} 在 $\mathbb{R}^N \backslash \{0\}$ 中的任何不恒等于 $u_s$ 的正奇异整体解 $u$，$u-u_s$ 在 $(0, \infty)$ 中变号无穷多次。此外，方程 \eqref{0.0} 存在一个正整体奇异解 $u(x) \; (=u(|x|)$，使得以 $u^{\frac{4}{n-4}}$ 为共形因子的共形度量的标量曲率为正，且 $v(t):=e^{\frac{n-4}{2} t} u(e^t)$ 对于足够大的 $T$ 是 $2T$-周期的。对于 \eqref{0.0} 的任何正整体解 $u(x)$，$v(t):=e^{\frac{n-4}{2} t} u(e^t)$ 是否具有周期性，目前仍是一个开放问题。