$\mathbb{R}^n$ 中混合局部与非局部临界问题正解的定性性质

我们考虑以下混合局部与非局部临界椭圆方程：\begin{equation*}\label{0.1} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta u+(-\Delta)^su=\lambda h u^{p}+u^{2^*-1}, &\text{in}\,\, \mathbb{R}^n, u>0, &\text {in} \,\, \mathbb{R}^n, \lim\limits_{|x|\to\infty} u(x) = 0, \end{array} \right. \end{equation*} 其中 $n\geqslant4, \,\, p\in (0,2^*-1),\,\, 2^*:=\frac{2n}{n-2}$ 且 $h$ 是一个正函数。我们首先证明上述临界椭圆方程粘性解的存在性和正则性结果。更准确地说，根据 \cite{Su-Xu} 得到了弱解，我们证明它们确实是粘性解，并且其正则性为：当 $p\in(0,1)$ 时，$u \in C^{\alpha}(\mathbb{R}^n)$；当 $p\in [1, 2^*-1)$ 时，$u \in C^{2,\beta}(\mathbb{R}^n)$。此外，对于 $p\in [1, 2^*-1)$，这些粘性解实际上是经典解，随后我们证明了具有衰减估计和径向对称性等定性性质的正解的存在性。