关于具临界非线性的非局部方程正解的多重性

本文研究以下一类具临界非线性的非局部方程正解的存在性与多重性：\begin{equation} \tag{$\mathcal E$} (-\Delta)^s u = a(x) |u|^{2^*_s-2}u+f(x)\;\;\text{in}\;\mathbb{R}^{N}, \quad u \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^{N}), \end{equation} 其中 $s \in (0,1)$，$N>2s$，$2_s^*:=\frac{2N}{N-2s}$，$0< a\in L^\infty(\mathbb{R}^{N})$ 且 $f$ 是 $\dot{H}^s$ 的对偶空间中的非负非平凡泛函。我们证明存在一个能量为负的正解。进一步，在附加假设 $a$ 为连续函数、$a(x)\geq 1$ 于 $\mathbb{R}^{N}$ 中、$a(x)\to 1$ 当 $|x|\to\infty$ 且 $\|f\|_{\dot{H}^s(\mathbb{R}^{N})'}$ 足够小（但 $f\not\equiv 0$）下，我们建立方程 ($\mathcal E$) 至少有两个正解。