Brezis-Nirenberg问题多峰解的渐近行为：次临界扰动情形

在本文中，我们考虑如下著名的Brezis-Nirenberg问题\n\begin{equation*}\n\begin{cases}\n-\Delta u= u^{2^*-1}+\varepsilon u^{q-1}, \quad u>0, &{\text{在}~\Omega\text{中}},\\\n\quad\ \ u=0, &{\text{在}~\partial \Omega\text{上}},\n\end{cases}\n\end{equation*}\n其中 $N\geq 3$，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{N}$ 中的光滑有界区域，$\varepsilon>0$ 为小参数，$q\in (2,2^*)$，$2^*:=\frac{2N}{N-2}$ 表示临界Sobolev指数。上述问题解的存在性已在文献中被许多作者获得。然而，据我们所知，上述问题解的渐近行为仍然开放。首先，我们描述当 $\varepsilon\to 0$ 时上述问题解的渐近轮廓。然后，我们推导精确的爆破速率，并刻画多峰解情形下集中速度与集中点位置的一般情况。最后，我们证明唯一性、非退化性并计算精确的爆破解数量。本文的主要结果在次临界扰动情形下给出了Brezis-Peletier猜想框架中多峰爆破现象的全貌。另一方面，与文献中先前研究的特殊情形 $q=2$ 相比，我们观察到指数 $q$ 对渐近行为、唯一性和非退化性以及域 $\Omega$ 的几何性质和空间维数 $N$（这些在文献中已知）具有显著影响。