具有超线性扰动的混合局部-非局部算子的 Brezis-Nirenberg 问题：紧致性及应用

在本文中，我们考虑以下混合局部非局部 Brezis-Nirenberg 问题 \begin{equation}\label{crit_pro_abstract}\tag{$\mathcal{P}_{2^*}$} -\Delta u+(-\Delta)^s u=\lambda |u|^{p-2}u+|u|^{2^*-2}u\text{ in }\Omega,\quad u=0\text{ in }\mathbb{R}^N \setminus \Omega, \end{equation} 其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 是有界域，$N\geq3$，$s\in(0,1)$，$\lambda>0$，且 $2\leq p<2^*=\frac{2N}{N-2}$。我们为以下亚临界/临界问题类建立了一个紧致性结果 \begin{equation}\label{sub_pro_abstract}\tag{$\mathcal{P}_{p_n}$} -\Delta u+(-\Delta)^s u=\lambda |u|^{p-2}u+|u|^{p_n-2}u\text{ in }\Omega,\quad u=0\text{ in }\mathbb{R}^N \setminus \Omega, \end{equation} 其中 $p_n \in (p,2^* ]$ 且 $p_n\to 2^*$。具体地，对于 $p \in (2+\frac{4s}{N-2},2^*)$ 当 $N>6-4s$ 时，以及对于 $p \in (2^*-1,2^*)$ 当 $N\leq6-4s$ 时，我们证明了解 \eqref{sub_pro_abstract} 的任何有界序列 $\{u_n\}$ 在能量空间中是相对紧的，并强收敛到 \eqref{crit_pro_abstract} 的一个非平凡解。这是第一篇针对非齐次算子处理此类紧致性结果的论文。由于非齐次算子的存在，我们的证明需要对 Devillanova 和 Solimini (Adv. Differential Equations, 2002) 以及 Yan, Yang 和 Yu (J. Funct. Anal., 2015) 发展的方法进行非平凡的改编。作为该紧致性结果的一个应用，在相同的 $N$ 和 $p$ 范围内，我们证明了 \eqref{crit_pro_abstract} 存在无穷多个变号解。我们预期我们的方法将适用于更广泛的相关问题。