与混合分数阶非线性叠加算子相关的Brezis-Nirenberg型问题

本文旨在研究由形如 $$A_{\mu, p}u:=\int_{[0,1]}(-\Delta)_{p}^{s} u\,\, d \mu(s),$$ 的算子非线性叠加所驱动的Brezis-Nirenberg型问题，其中 $\mu$ 表示 $[0, 1]$ 上的符号测度。我们考虑与 $A_{\mu, p}$ 相关的非线性非局部方程，该方程包含临界非线性与低阶扰动。利用变分技巧，我们在对扰动项的一般假设下，通过弱下半连续性论证建立了该临界问题的存在性结果。我们讨论了当扰动项在原点消失时的多解性结果。此外，当低阶项为纯幂函数时，我们使用山路技巧考察了Brezis-Nirenberg型问题。进一步地，我们探讨了与 $A_{\mu, p}$ 相关的次临界问题解的存在性。我们的结果是新颖的，即使在两个不同分数阶 $p$-Laplacian之和，或分数阶 $p$-Laplacian与经典 $p$-Laplacian的组合情况下亦然。更一般地，我们的框架足够宽泛，能够容纳不同分数阶 $p$-Laplacian的有限和，以及涉及具有“错误”符号的分数阶Laplacian的情形。本研究的一个关键贡献是发展了一种统一的方法，通过将一大类算子和低阶扰动项纳入一个共同的理论框架，系统地处理这些问题。即使在不同阶分数算子的线性叠加情况下，这些结果依然是新的。