分层 Lie 群上的亚弹性非局部 Brezis-Nirenberg 问题

本文我们考察了分层 Lie 群上涉及临界非线性项的亚弹性非局部 Brezis-Nirenberg 问题，具体为：\n\n\begin{align*}\n (-\Delta_{\mathbb{G}, p})^s u&= \mu |u|^{p_s^*-2}u+\lambda h(x, u) \quad \text{in}\quad \Omega, \\\n u&=0\quad \text{in}\quad \mathbb{G}\backslash \Omega,\n\end{align*}\n\n其中 $(-\Delta_{\mathbb{G}, p})^s$ 是分层 Lie 群 $\mathbb{G}$ 上具有齐次维数 $Q$ 的分数 $p$-亚 Laplacian，$\Omega$ 是 $\mathbb{G}$ 的一个有界开子集，$s \in (0,1)$，$\frac{Q}{s}>p\geq2$，$p_s^*:=\frac{pQ}{Q-ps}$ 为亚弹性分数 Sobolev 临界指数，$\mu, \lambda>0$ 为实参数，$h$ 为临界幂 $|u|^{p_s^*-2}u$ 的次要扰动。我们利用变分微积分的直接方法，在实参数 $\lambda$ 足够小的条件下，建立上述问题至少存在一个弱解。此外，我们考察了 $\mu = 0$ 的情况，代表分层 Lie 群上的亚弹性非局部方程，涉及一个正实参数且具有亚临界非线性。我们证明在该情形下也至少存在一个解。我们强调，此处获得的结果对于 $p=2$ 甚至在 Heinsenberg 群中也是新的。