涉及三明治型非线性的临界 $(p,q)$-分数阶问题

本文研究以下 $(p,q)$-分数阶问题 $$(-\Delta)^{s_{1}}_{p}u +(-\Delta)^{s_{2}}_{q}u=\lambda P(x)|u|^{k-2}u+\theta|u|^{p_{s_{1}}^{*}-2}u \, \mbox{ in }\, \Omega,\qquad u=0\, \mbox{ in }\, \mathbb{R}^{N} \setminus \Omega,$$ 其中 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{N}$ 为一般开集，$0<s_{2}<s_{1}<1$，$1<q<k<p<N/s_{1}$，参数 $\lambda,\ \theta>0$，$P$ 为非平凡非负权重，而 $p_{s_{1}}^{*}=Np/(N-ps_{1})$ 为临界指数。我们证明存在一个递减序列 $\{\theta_j\}_j$，使得对任意 $j\in\mathbb N$ 且 $\theta\in(0,\theta_j)$，存在 $\lambda_*$, $\lambda^*>0$，使得上述问题对任意 $\lambda\in (\lambda_*,\lambda^*)$ 至少存在 $j$ 个具有负能量的不同弱解。另一方面，我们证明存在 $\overline{\lambda}>0$，使得对任意 $\lambda>\overline{\lambda}$，存在 $\theta^*=\theta^*(\lambda)>0$，使得上述问题对任意 $\theta\in(0,\theta^*)$ 存在一个具有负能量的非负弱解。