关于含 sandwich 类型非线性问题的临界双相问题

本文研究具有临界和 sandwich 类型增长的问题，其形式为：\n\n\begin{align*} -\operatorname{div}\Big(|\nabla u|^{p-2}\nabla u + a(x)|\nabla u|^{q-2}\nabla u\Big)= \lambda w(x)|u|^{s-2}u+\theta B\left(x,u\right) \quad \text{in } \Omega,\quad u= 0 \quad\text{on } \partial \Omega, \end{align*}\n\n其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 为具有 Lipschitz 边界的有界域，$1<p<s<q<N$，$\frac{q}{p}<1+\frac{1}{N}$，$0\leq a(\cdot)\in C^{0,1}(\overline{\Omega})$，$\lambda$, $\theta$ 为实参数，$w$ 为适当的权函数，$B\colon \overline{\Omega}\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 定义为\n\n\begin{align*} B(x,t) :=b_0(x)|t|^{p^*-2}t+b(x)|t|^{q^*-2}t, \end{align*}\n\n其中 $r^*:=Nr/(N-r)$ 对于 $r\in\{p,q\}$。右侧包含由 $B(\cdot,\cdot)$ 给定的临界项和指数为 $s \in (p,q)$ 的 sandwich 类型扰动。我们在参数 $\lambda$ 和 $\theta$ 的不同取值下，证明上述问题的解的存在性和数目性。为此，我们主要利用结合拓扑工具的不同变分方法，如一种新的浓度紧致原理、适当的截断技巧和克拉斯诺斯基奇属理论，仅需对数据 $a(\cdot)$、$b_0(\cdot)$ 和 $b(\cdot)$ 施加非常轻微的假设。