关于带权与一般数据的分数阶 p-拉普拉斯方程

本文旨在处理如下问题 $$(P) \left\{ \begin{array}{rcll} (-\Delta)^s_{p, \beta} u &= & f(x,u) &\mbox{ in }\Omega, u & = & 0 &\mbox{ in } \mathds{R}^N\setminus\Omega, \end{array} \right.$$ 其中 $$(-\Delta)^s_{p,\beta}\, u(x):=P.V. \int_{\mathds{R}^N}\frac{|u(x)-u(y)|^{p-2}(u(x)-u(y))}{|x-y|^{N+ps}} \frac{dy}{|x|^\beta|y|^\beta},$$ $\Omega$ 是包含原点的有界区域， $0\le \beta<\frac{N-ps}{2}$, $1<p<N$, $s\in (0,1)$ 且 $ps<N$。本文的主要结果是在 $f$ 的附加假设下证明弱解的存在性。具体地，我们考虑两种情况：1- $f(x,s)=f(x)$，此时我们证明对所有 $f\in L^1(\Omega)$ 存在弱解，该弱解属于合适的加权分数阶 Sobolev 空间。此外，若 $f\gneq 0$，我们证明问题 $(P)$ 有唯一的熵正解。2-$f(x,s)=\lambda s^q +g(x)$ ，此时根据 $\lambda$ 和 $q$ 的取值，我们得到使问题 $(P)$ 有正解的最大类数据 $g$。在 $f\gneq 0$ 的情形下，解 $u$ 满足合适的弱 Harnack 不等式。