一个涉及奇异非线性和 $L^1$ 数据的加权分数阶问题

在本文中，我们证明了如下问题熵解的存在唯一性：\begin{equation} \begin{split} (-\Delta)_{p,\alpha}^su&= f(x)h(u)+g(x) ~\text{in}~\Omega,\\ u&>0~\text{in}~\Omega,\\ u&= 0~\text{in}~\mathbb{R}^N\setminus\Omega,\nonumber \end{split} \end{equation} 其中区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ 有界且包含原点，$\alpha\in[0,\frac{N-ps}{2})$，$s\in (0,1)$，$2-\frac{s}{N}<p<\infty$，$sp<N$，$g\in L^1(\Omega)$，$f\in L^q(\Omega)$（$q>1$），且 $h$ 是在 0 处具有奇异性的广义奇异函数。此外，带权重 $\alpha$ 的分数阶 $p$-Laplacian 由下式给出：$$(-\Delta)_{p,\alpha}^su(x)=\text{P. V.}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|u(x)-u(y)|^{p-2}(u(x)-u(y))}{|x-y|^{N+ps}}\frac{dy}{|x|^\alpha|y|^{\alpha}},~\forall x\in \mathbb{R}^N.$$