带奇异非线性项和源项的混合局部与非局部方程的唯一性结果

本文考察了一种局部与非局�混合问题，特征为奇异非线性项和源项。具体而言，我们关注以下问题：\begin{equation}\label{A}\tag{P} -\Delta_{p} u + (-\Delta)^{s}_{q} u = f(x) u^{-\alpha} + g(x) u^{\beta}, \quad u > 0 \quad \text{in } \Omega; \quad u = 0, \quad \text{in } \mathbb{R}^{N} \setminus \Omega, \end{equation}其中，$\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 为具有 $C^{2}$ 边界 $\partial \Omega$ 的开放有界域，且 $N > p$。我们假设 $0 < s < 1$ 且 $1 < p, q < \infty$，其中 $q = p$ 或 $q < p$，分别对应齐次和非齐次情况。参数满足 $0 < \beta < q - 1$ 且 $\alpha > 0$。函数 $f$ 属于适当的 Lebesgue 空间 $L^{r}(\Omega)$ 中的非零函数，其中 $r \in [1, \infty]$，或满足涉及距离函数 $d(\cdot)$ 负幂次的增长条件 $x$ 靠近边界 $\partial \Omega$ 时。此外，$g$ 为适当 Lebesgue 空间中的非负函数。本文的主要目标有两个。首先，我们通过引入特定条件下的新比较原理，建立问题 \eqref{A} 的无限能量解的唯一性。其次，我们推导了问题 \eqref{A} 在各种意义上的弱解的若干存在结果，并伴随该问题的正则性结果。此外，我们在函数 $f(x) \sim d^{-\delta}(x)$ 且 $x$ 靠近边界时，给出当 $\delta \geq p$ 时的不存在结果。我们的方法利用一边的 Picone 身份，另一边则利用局部项与非局部项之间的相互作用。