一类涉及外部 Dirac 数据的半线性分数阶椭圆方程

本文旨在完整研究分数阶椭圆方程\begin{equation}\label{00} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} (-\Delta)^{\alpha} u+u^p=0\ \ \ \ & {\rm in}\ \ B_1(e_N),\\[2mm]\phantom{(-\Delta)^{\alpha} +u^p} u=\delta_{0}& {\rm in}\ \ \mathbb{R}^N\setminus B_1(e_N), \end{array} \end{equation}的弱解，其中$p>0$，$(-\Delta)^{\alpha}$（$\alpha\in(0,1)$）表示主值意义下的分数阶 Laplacian 算子，$B_1(e_N)$是$\mathbb{R}^N$中以$e_N=(0,\cdots,0,1)$为中心的单位球（$N\ge 2$），$\delta_0$是集中于原点的 Dirac 质量。我们证明了当$p> 1+\frac{2\alpha}{N}$时，问题 (\ref{00}) 存在唯一的弱解。此外，若进一步满足$p\ge \frac{N+2}{N-2}$，则当$\alpha\to 1^-$时该弱解趋于零。我们还表明，当$p\in[0, 1+\frac{2\alpha}{N}]$时，问题 (\ref{00}) 不存在任何弱解。这些结果非常令人惊讶，因为它们与经典情形完全矛盾；在经典情形下，$$\arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} -\Delta u+ u^p=0\ \ \ \ & {\rm in}\ \B_1(e_N),\\[2mm] \phantom{-\Delta +u^{p} } u=\delta_{0}& {\rm in}\ \ \R^N\setminus B_1(e_N), \end{array}$$已证明当$p\ge \frac{N+1}{N-1}$时无解。