测度框架下半线性椭圆方程的各向异性奇点

本文旨在研究椭圆方程 $$-\Delta u+g(u)=2k\frac{\partial \delta_0}{\partial x_N }+j\delta_0\quad {\rm in}\quad\ \ B_1(0),\qquad u=0\quad {\rm on}\quad\ \ \partial B_1(0),$$ 的非常弱解，其中 $k>0$，$j\ge0$，$B_1(0)$ 表示 $\mathbb{R}^N$ ($N\geq2$) 中单位球，$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 为奇的、非减且 $C^1$ 的函数，$\delta_0$ 为集中于原点的狄拉克质量，$\frac{\partial\delta_0}{\partial x_N}$ 按分布意义定义为 $$\langle\frac{\partial \delta_0}{\partial x_N},\zeta\rangle=\frac{\partial\zeta(0)}{\partial x_N} , \qquad \forall \zeta\in C^1_0(B_1(0)).$$ 在积分次临界假设 $$\int_1^{\infty}g(s)s^{-1-\frac{N+1}{N-1}}ds<+\infty.$$ 下，我们获得上述问题存在唯一的非常弱解 $u_{k,j}$。进一步，我们证明 $u_{k,j}$ 在原点具有各向异性奇点，并考虑 $u_{k,0}$ 的奇性以及当 $k\to\infty$ 时 $\{u_{k,0}\}_k$ 的极限。我们对非线性项 $g(u)$ 施加约束，仅要求其在主值意义下可积，这是由于奇点仅在原点。这使得我们能在更大范围的非线性项中寻找非常弱解。