带边界曲面上 Keller-Segel 方程的次数计数公式

本文考虑定义在具有光滑边界 $\partial\Sigma$ 的紧致黎曼曲面 $(\Sigma, g)$ 上的如下 Keller-Segel 方程：$$-\Delta_g u = \rho\Big(\frac{V e^u}{\int_{\Sigma} V e^u \mathrm{d} v_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\Big) \text{ in } {\Sigma}, \quad \text{with } \partial_{\nu_g} u = 0 \text{ on } \partial \Sigma,$$ 其中 $V$ 是 $\Sigma$ 上的光滑正函数，$\rho > 0$ 为参数。我们对气泡解的爆破进行了精细分析，并在其集中点周围建立了更精确的先验估计。随后我们计算了这些解的莫尔斯指标，并利用它推导出了非共振情形（即 $\rho \notin 4\pi\mathbb{N}$）下 Leray-Schauder 次数的计数公式。我们的方法遵循 Y. Y. Li [33] 提出的策略，并由 C.-S. Lin 与 C.-C. Chen [15,16] 后续实施，用于闭曲面上的平均场方程，同时采用了 Bahri 的无穷远临界点理论中的技术。