弯曲平面上Keller-Segel方程的稳态解

我们研究弯曲平面上Keller–Segel方程的稳态解。我们证明了质量必须为$8 \pi$的必要性以及尖锐衰减界。值得注意的是，我们的结果不要求解具有有限的二阶矩，因此在平面情形中已是新颖的。此外，我们给出了弯曲平面上静态Keller–Segel方程的稳态解与球面上正曲率黎曼度量之间的对应。我们利用这一对偶性证明了某些情形下解的不存在性。特别地，我们证明了存在与平面上平坦度量任意接近的度量，其不支持静态Keller–Segel方程的稳态解（任意质量）。最后，作为一个补充结果，我们证明了对数Hardy–Littlewood–Sobolev不等式的弯曲版本，并用它证明Keller–Segel自由能恰在质量为$8 \pi$时由下界界定，即使在弯曲情形亦如此。