高维 Keller-Segel 方程的奇异径向解
偏微分方程分析
2018-08-22 v1 经典分析与常微分方程
摘要
我们研究定常 Keller-Segel 方程的奇异径向对称解，即一个在维数 下为超临界的带指数非线性项的椭圆方程。这些解在原点处无界，我们证明它们描述了正则解分支的渐近行为。我们证明对任意球体和任意 ，存在一个满足 Neumann 边界条件且在常数平衡点附近至少振荡 次的奇异解。此外，我们证明在维数 时，存在满足 Neumann 边界条件且接近奇异解的正则解。因此，任意球体上均存在具有任意快振荡的正则解。对于一般半径，我们证明当 时正则解的分支在分叉平面中振荡并逼近某个奇异解。在维数 时，我们证明奇异解的 Morse 指标有限，因此不期望存在具有快振荡的正则解。
引用
@article{arxiv.1808.06990,
title = {Singular radial solutions for the Keller-Segel equation in high dimension},
author = {Denis Bonheure and Jean-Baptiste Casteras and Juraj Foldes},
journal= {arXiv preprint arXiv:1808.06990},
year = {2018}
}