具二次扩散的Keller-Segel模型的稳态环与同心环解

本文研究$\mathbb R^2$中圆盘上具二次细胞扩散的Keller-Segel模型，重点关注其非平凡模式的形成。我们得到径向对称稳态解的显式公式，此类构型产生环状模式与同心airy模式。这些显式公式使我们能够研究这些解的全局分歧与渐近行为，其中当趋化率较大时细胞种群密度具有$\delta$型尖峰结构。显式公式还用于研究由趋化率决定的若干阈值现象所支配的非平凡稳态径向模式的唯一性与定量性质。我们发现除非在一离散分歧值序列处存在严格正的小幅解，否则所有非常数径向稳态解必具有紧支撑的细胞密度。自由能的层级显示，在径向类中内环解具有最小能量而常数解具有最大能量，且所有这些理论结果通过分歧图加以阐明。我们将结果自然推广到$\mathbb R^2$，得到该全空间中问题的存在性、唯一性与闭式解。我们的结果辅以数值模拟，其展示了圆盘内非径向稳态解的存在性。