稳态 Keller-Segel 系统的多重正解

我们考虑稳态 Keller-Segel 方程 \begin{equation*} \begin{cases} -\Delta v+v=\lambda e^v, \quad v>0 \quad & \text{in }\Omega,\\ \partial_\nu v=0 &\text{on } \partial \Omega, \end{cases} \end{equation*} 其中 $\Omega$ 是一个球。在 $\lambda\to 0$ 的情形下，我们研究径向分歧，并通过粘合变分方法构造径向解。对于任意给定的正整数 $n$，我们构建一个在 $r_1,\ldots,r_n$ 处具有多层的解，我们的意思是这些解在 $\lambda\to 0$ 时集中在半径为 $r_i$ 的球面上（对所有 $i=1,\ldots,n$）。一个值得注意的事实是，与先前已知结果相反，解的层在 $\lambda\to 0$ 时并不累积到 $\Omega$ 的边界。相反，它们在极限中满足一个最优分割问题。