圆盘上 Keller-Segel 方程的无界质量径向解

我们考虑边值问题 $$\left\{ \begin{array}{rcll} -\Delta u+ u -\lambda e^u&=&0,\ u>0 & \mathrm{in}\ B_1(0)\\ \partial_\nu u&=&0&\mathrm{on}\ \partial B_1(0), \end{array}\right.$$ 其解对应于趋化性 Keller--Segel 系统的稳态。这里 $B_1(0)$ 是单位圆盘，$\nu$ 是 $\partial B_1(0)$ 的外法向，$\lambda>0$ 是一个参数。我们证明，只要 $\lambda$ 足够小，该系统存在一族径向解 $u_\lambda$，当 $\lambda\to 0$ 时在原点爆破并在 $\partial B_1(0)$ 上集中。这些解满足 $$\lim_{\lambda\to 0} \frac{u_\lambda(0)}{|\ln\lambda|}=0\quad \mbox{and}\quad 0<\lim_{\lambda\to 0} \frac{1}{|\ln\lambda|}\int_{B_1(0)}\lambda e^{u_\lambda(x)}dx<\infty,$$ 特别地，当 $\lambda\to 0$ 时具有无界质量。