双调和 $k-$Hessian 方程径向解的存在性

本文构建了椭圆方程 \begin{equation}\nonumber \Delta^2 u = (-1)^k S_k[u] + \lambda f(x), \qquad x \in B_1(0) \subset \mathbb{R}^N, \end{equation} 径向解的存在性理论，该方程配备 Dirichlet 边界条件 \begin{eqnarray}\nonumber u = \partial_n u = 0, \qquad x \in \partial B_1(0), \end{eqnarray} 或 Navier 边界条件 \begin{equation}\nonumber u = \Delta u = 0, \qquad x \in \partial B_1(0), \end{equation} 其中 $k-$Hessian $S_k[u]$ 是 Hessian 矩阵特征值的 $k^{\mathrm{th}}$ 初等对称多项式，数据 $f \in L^1(B_1(0))$ 且 $\lambda \in \mathbb{R}$。我们证明了这些边值问题 Carath\'eodory 解的存在性，该解在原点的某邻域内是唯一的，前提是 $|\lambda|$ 足够小。此外，我们证明了 $\lambda$ 的可解集是有限的，并给出了极值的显式界。