径向双调和 $k-$Hessian 方程：临界维数

本研究致力于探讨椭圆问题 \begin{equation}\nonumber \Delta^2 u = (-1)^k S_k[u] + \lambda f, \qquad x \in B_1(0) \subset \mathbb{R}^N, \end{equation} 的径向解，该问题要么配备 Dirichlet 边界条件 \begin{eqnarray}\nonumber u = \partial_n u = 0, \qquad x \in \partial B_1(0), \end{eqnarray} 要么配备 Navier 边界条件 \begin{equation}\nonumber u = \Delta u = 0, \qquad x \in \partial B_1(0), \end{equation} 其中 $k-$Hessian $S_k[u]$ 是 Hessian 矩阵特征值的 $k^{\mathrm{th}}$ 阶初等对称多项式，且数据 $f \in L^1(B_1(0))$。我们还研究了该偏微分方程在整个空间解的存在性，假设这些解在无穷远处衰减至零，并对数据施加类似的可和性条件。我们的结果表明，对于 $k=2$，维数 $N=4$ 起到了临界维数的作用，区分了其下方和上方的两种不同现象学行为。