球中 $k$-Hessian 方程的有界解

我们考虑问题 \begin{equation}\label{Eq:Abstract} (1)\;\;\;\begin{cases} S_k(D^2u)= \lambda (1-u)^q &\mbox{in }\;\; B,\\ u <0 & \mbox{in }\;\; B,\\ u=0 &\mbox{on }\partial B, \end{cases} \end{equation} 其中 $B$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中的单位球，$n>2k$ ($k\in \mathbb{N}$)，$\lambda>0$ 且 $q > k$。我们研究 (1) 的负有界径向对称解的存在性。在临界情形，即当 $q$ 等于 Tso 的临界指数 $q=\frac{(n+2)k}{n-2k}=:q^*(k)$ 时，我们根据参数确切得到恰好一个或两个解。此外，我们用 Bliss 函数显式表达此类解。超临界情形根据 Joseph 和 Lundgren 在其经典工作 [27] 中发展的思想进行分析。特别地，我们建立了一个 Emden-Fowler 变换，该变换在 $k$-Hessian 算子的背景下似乎是新的。我们还发现了一个临界指数，定义为 \begin{equation*} q_{JL}(k)= \begin{cases} k\frac{(k+1)n-2(k-1)-2\sqrt{2[(k+1)n-2k]}}{(k+1)n-2k(k+3)-2\sqrt{2[(k+1)n-2k]}}, & n>2k+8,\\ \infty, & 2k < n \leq 2k+8, \end{cases} \end{equation*} 它使我们能够确定在两种情形 $q^*(k)\leq q < q_{JL}(k)$ 和 $q\geq q_{JL}(k)$ 下 (1) 的解的重数。此外，我们指出，对于 $k=1$，指数 $q_{JL}(k)$ 与经典的 Joseph-Lundgren 指数一致。