带一般权重的 k-Hessian 方程解的存在性、多重性与分类结果

本文旨在研究涉及带一般权重的非线性项的$k$-Hessian方程的负经典解 \begin{equation} \label{Eq:Ma:0} \tag{$P$} \begin{cases} S_k(D^2u)= \lambda \rho(|x|) (1-u)^q &\mbox{in }\;\; B,\\ u=0 &\mbox{on }\partial B. \end{cases} \end{equation} 此处，$B$表示$\mathbb R^n\!$中的单位球，$n>2k$，$\lambda$为正参数且$q>k$，其中$k\in \mathbb N$。函数$r\rho'(r)/\rho(r)$在径向$r=|x|$上满足非常一般的条件。我们展示了问题\eqref{Eq:Ma:0}解的存在性、不存在性与多重性。证明所使用的主要技术是与\eqref{Eq:Ma:0}中方程相关的非自治动力系统的相平面分析。进一步，利用上述非自治系统，我们给出了在整个空间$\mathbb R^n\!$上给出的相关问题 \begin{equation*} \begin{cases} S_k(D^2 w)= \rho(|x|) (-w)^q, \\ w<0, \end{cases} \end{equation*} 的$P_2$-、$P_3^+$-、$P_4^+$-解的全面刻画。特别地，我们描述了新的解类：快衰减$P^+_3$-解与$P_4^+$-解。