带幂非线性源和自相似性的k-Hessian方程

我们研究方程 $S_k(D^2v)+\beta \xi\cdot\nabla v+\alpha v+|v|^{q-1}v=0$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中球对称解的存在性与唯一性，其中 $\alpha,\beta$ 为实参数，$n>2,\, q>k\geq 1$，$S_k(D^2v)$ 表示 $v$ 的k-Hessian算子。我们的结果主要基于相关动力学系统的分析和能量方法。我们推导了上述方程在不同参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 范围下解的若干性质。特别地，我们精确描述了其在无穷远处的渐近行为。进一步，根据 $q$ 相对于第一临界指数 $\frac{(n+2)k}{n}$ 和Tso临界指数 $\frac{(n+2)k}{n-2k}$ 的位置，我们研究了三类解的存在性：穿越解、慢衰减解或快衰减解。特别地，若 $k>1$，所有快衰减解在 $\mathbb{R}^n$ 中具有紧支集。这些结果还适用于构造相关非线性演化方程的I型自相似解。这些自相似函数具有形式 $u(t,x)=t^{-\alpha}v(xt^{-\beta})$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 为适当选取的参数。