完全非线性的 Sobolev 迹不等式

$k$-Hessian 算子 $\sigma_k$ 是 Hessian 矩阵特征值的前 $k$ 个初等对称函数。已知具有 Dirichlet 边界条件 $u=0$ 的 $k$-Hessian 方程 $\sigma_k(D^2u)=f$ 是变分的；事实上，该问题可通过 $k$-Hessian 能量 $-\int u\sigma_k(D^2u)$ 来研究。我们构造了一个自然的边界泛函，将其加到 $k$-Hessian 能量上后，其临界点即为具有一般非零边界数据的 $k$-Hessian 方程的解。作为结果，我们证明了一个针对 $k$-可容函数 $u$ 的尖锐 Sobolev 迹不等式，该不等式通过 $u$ 的边界值来估计 $k$-Hessian 能量。