穿孔域上齐次 $k$-Hessian 方程的 Dirichlet 问题

本文考虑齐次 $k$-Hessian 方程在穿孔域 $\Omega\setminus\{0\}$ 中的 Dirichlet 问题，其中 $\Omega$ 为欧几里得空间中 $(k-1)$-凸有界域，并要求在 $0\in\Omega$ 处具有指定的渐近行为：当 $k>\frac{n}{2}$ 时解在 $0$ 处的指定渐近行为为零，当 $k=\frac{n}{2}$ 时为 $\log|x|+O(1)$，当 $k<\frac{n}{2}$ 时为 $-|x|^{\frac{2k-n}{n}}+O(1)$。为求解该问题，我们考虑逼近 $k$-Hessian 方程在 $\Omega\setminus \overline{B_r(0)}$（$r$ 很小）中的 Dirichlet 问题。首先构造逼近 $k$-Hessian 方程的子解。随后基于第二、第三作者此前建立的新梯度与二阶估计，导出逼近方程的点态 $C^{2}$ 估计。此外，若区域关于 $0$ 星形，我们证明梯度的统一正下界。作为应用，我们证明逼近解水平集上的一恒等式并得到近单调性公式。特别地，对 $\mathbb R^n$ 中光滑严格 $(k-1)$-凸星形闭超曲面且 $\frac{n}{2}\le k<n$ 的情形，得到一加权几何不等式。