齐次 Hörmander 算子的 Dirichlet 特征值渐近行为及代数几何方法

我们研究有界开区域（含原点）上齐次 Hörmander 算子 $\triangle_{X}=\sum_{j=1}^{m}X_{j}^{2}$ 的 Dirichlet 特征值问题，其中 $X_1, X_2, \ldots, X_m$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中满足 Hörmander 条件及关于一族非各向同性伸缩的适当齐次性的线性无关光滑向量场。设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中包含原点的有界开区域。我们利用 Dirichlet 形式研究热半群与次椭圆热核。进而，借助次椭圆热核估计、代数几何中的奇点消解，以及涉及凸几何的精细分析，我们建立了显式渐近行为 $\lambda_k \approx k^{\frac{2}{Q_0}}(\ln k)^{-\frac{2d_0}{Q_0}}$（当 $k \to +\infty$），其中 $\lambda_k$ 表示 $\triangle_{X}$ 在 $\Omega$ 上的第 $k$ 个 Dirichlet 特征值，$Q_0$ 为正有理数，$d_0$ 为非负整数。此外，我们给出了指数 $Q_0$ 的最优界，其依赖于与向量场 $X_1, X_2, \ldots, X_m$ 相关的齐次维数。