一类次椭圆算子的 Dirichlet 特征值估计

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界连通开集。假设我们有一组定义在 $\overline{\Omega}$ 邻域上的实光滑向量场 $X=(X_{1},X_{2},$ $\cdots,X_{m})$，满足 Hörmander 条件。进一步假设 $\partial\Omega$ 关于 $X$ 是非特征的。对于 $\Omega$ 上的自伴次椭圆算子 $\triangle_{X}= -\sum_{i=1}^{m}X_{i}^{*} X_i$，记其第 $k$ 个 Dirichlet 特征值为 $\lambda_k$。我们将给出次椭圆 Dirichlet 热核的一致上界。我们还将给出 $\lambda_{k}$ 的显式尖锐下界估计，其在 $k$ 上呈多项式增长，阶数与广义 Métivier 指标相关。我们将建立 $\lambda_{k}$ 的显式渐近公式，推广了 Métivier 于 1976 年的结果。我们的渐近公式表明，在某一条件下，我们对 $\lambda_{k}$ 的下界估计就 $k$ 的增长而言是最优的。此外，也将给出一般次椭圆算子 Dirichlet 特征值的估计上界，其在某种意义下具有最优增长阶。