关于退化 $k$ Hessian 方程的 Dirichlet 问题

本文研究了针对右端为非负函数 $f$ 的 $k$ Hessian 方程 Dirichlet 问题中全局 $C^{1,1}$ 解的存在性，关注所需 $f$ 的条件。条件 $f^{1/(k-1)}\in C^{1,1}(\overline{\Omega_{0}})$ 和 $f^{3/(2k-2)}\in C^{2,1}(\overline{\Omega_{0}})$，以及 $f\geq0$ 于域 $\Omega_{0}\Supset\Omega$ 中的成员资格是最优的，正如经典反例所示。对于 Monge-Ampère 方程 ($k=n$)，我们在最优条件 $f^{3/(2n-2)}\in C^{2,1}(\overline{\Omega_{0}})$ 以及 $f\geq0$ 于 $\Omega_{0}$ 中建立了存在性。对于一般的 $k$ Hessian 方程，我们在 $f\geq0$ 于 $\Omega_{0}$ 以及以下三个条件之一的情况下建立了存在性：\begin{align*} &(1)\quad f^{1/(k-1)}\in C^{1,1}(\overline{\Omega_{0}}),\ \ \inf_{\Omega}\Delta u\geq1,\ \ 2\leq k\leq n-1;\ &(2)\quad f^{3/(2k-2)}\in C^{2,1}(\overline{\Omega_{0}}),\ \ \inf_{\Omega}\Delta u\geq1,\ \ 5\leq k\leq n-1;\ &(3)\quad f^{3/(2k)}\in C^{2,1}(\overline{\Omega_{0}}),\ \ 2\leq k\leq n-1. \end{align*}