增广非对称 $k$-Hessian 型方程的容许解 I. $k$-Hessian 型函数的 $d$-凹性

对 $2 \le k \le n-1$，我们在正锥 $\Gamma_n=\{\lambda=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots,\lambda_{n})\in \mathbb{R}^n; \lambda_j>0,j=1,\cdots, n\}$ 的一个子集上建立了函数 $f_k(\lambda)=\log(\sigma_k(\lambda))$ 的严格凹性，其中 $\sigma_{k}(\lambda)$ 是 $k$ 次基本对称多项式，$2 \leq k \leq n$。随后我们将该结果应用于研究所谓 $k$-Hessian 型函数 $F_{k}(R)=\log \left(S_{k}(R)\right)$ 的 $d$-凹性，其中 $S_{k}(R)=\sigma_{k}(\lambda(R)), \lambda(R)= \left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right) \in \mathbb{C}^{n}$ 是 $R \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的特征值向量，$R=\omega+\beta, \omega^{T}=\omega, \omega>0, \quad \beta^{T}=-\beta$。该 $d$-凹性将在我们的下一篇论文中用于研究增广非对称 $k$-Hessian 型方程的 Dirichlet 问题容许解的存在性。