一类 $k$-Hessian 方程解的存在性及其与自相似解的联系

设 $\alpha,\beta$ 为实参数且 $a>0$。我们研究 \begin{equation*} S_k(D^2v)+\alpha v+\beta \xi\cdot\nabla v=0,\, v>0\;\; \mbox{in}\;\; \mathbb{R}^n,\; v(0)=a, \end{equation*} 的径向对称解，其中 $S_k(D^2v)$ 表示 $v$ 的 $k$-Hessian 算子。对于 $\alpha\leq\frac{\beta(n-2k)}{k}\;\;\mbox{and}\;\;\beta>0$，我们不使用相平面法证明了该问题存在唯一解。我们还证明了上述方程在参数 $\alpha$ 与 $\beta$ 其他取值范围下解的存在性与性质。这些结果随后被用于构造一个相关演化方程的不同类型显式自相似形式解。特别地，对于热方程，我们找到了一类新的 II 型自相似解，其在有限时间内爆破。这些解表示为幂级数，称为 Kummer 函数。