非线性椭圆方程的奇异极限与精确衰减率

对于任意 $n\ge 3$, $0<m\le (n-2)/n$, 以及满足 $\alpha\le\beta(n-2)/m$ 的常数 $\eta>0$, $\beta>0$, $\alpha$, 我们证明了 $\frac{n-1}{m}\Delta v^m+\alpha v +\beta x\cdot\nabla v=0$, $v>0$, 在 $\R^n$ 中, $v(0)=\eta$ 的径向对称解的存在性，无需使用相平面方法。当 $0<m<(n-2)/n$, $n\ge 3$, 且 $\alpha=2\beta/(1-m)>0$ 时，我们证明了上述椭圆方程的径向对称解 $v$ 满足 $\lim_{|x|\to\infty}\frac{|x|^2v(x)^{1-m}}{\log |x|} =\frac{2(n-1)(n-2-nm)}{\beta(1-m)}$。特别地，当 $m=\frac{n-2}{n+2}$, $n\ge 3$, 且 $\alpha=2\beta/(1-m)>0$ 时，度量 $g_{ij}=v^{\frac{4}{n+2}}dx^2$ 是 $\R^n$ 上 Yamabe 流的稳态孤子解，我们得到 $\lim_{|x|\to\infty}\frac{|x|^2v(x)^{1-m}}{\log |x|}=\frac{(n-1)(n-2)}{\beta}$。当 $0<m<(n-2)/n$, $n\ge 3$, 且 $2\beta/(1-m)>\max (\alpha,0)$ 时，我们证明对于某个常数 $A>0$, $\lim_{|x|\to\infty}|x|^{\alpha/\beta}v(x)=A$。对于 $\beta>0$ 或 $\alpha=0$，我们证明当 $m\to 0$ 时，上述椭圆方程的径向对称解 $v^{(m)}$ 在 $\R^n$ 的每个紧子集上一致收敛到方程 $(n-1)\Delta\log u+\alpha u+\beta x\cdot\nabla u=0$, $u>0$, 在 $\R^n$ 中, $u(0)=\eta$ 的解 $u$。