快速扩散方程与对数扩散方程奇异自相似解的存在唯一性

设 $n\ge 3$，$0<m<\frac{n-2}{n}$，$\rho_1>0$，$\eta>0$，$\beta>\frac{m\rho_1}{n-2-nm}$，$\alpha=\alpha_m=\frac{2\beta+\rho_1}{1-m}$，$\beta_0>0$ 且 $\alpha_0=2\beta_0+1$。我们利用不动点论证，对椭圆方程 $\Delta (f^m/m)+\alpha f+\beta x\cdot\nabla f=0$，$f>0$，在 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 中满足 $\displaystyle\lim_{|x|\to 0}|x|^{\alpha/\beta}f(x)=\eta$ 的径向对称奇异解 $f=f^{(m)}$ 的存在唯一性给出新证明。我们还证明了方程 $\Delta\log g+\alpha_0 g+\beta_0x\cdot\nabla g=0$，$g>0$，在 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 中满足 $\displaystyle\lim_{|x|\to 0}|x|^{\alpha_0/\beta_0}g(x)=\eta$ 的径向对称奇异解 $g$ 的存在唯一性。此类方程分别源于快速扩散方程 $u_t=\Delta u^m$ 与对数扩散方程 $u_t=\Delta\log u$ 的后向奇异自相似解的研究。我们还将证明函数 $f$ 当 $|x|\to\infty$ 时的渐近衰减率。