快扩散方程解在其熄灭时间附近的渐近行为

设 $n\ge 3$，$0<m<\frac{n-2}{n}$，$\rho_1>0$，$\beta\ge\frac{m\rho_1}{n-2-nm}$ 且 $\alpha=\frac{2\beta+\rho_1}{1-m}$。对于任意 $\lambda>0$，我们将证明椭圆方程 $\Delta v^m+\alpha v+\beta x\cdot\nabla v=0$，$v>0$，在 $R^n\setminus\{0\}$ 中存在唯一（当 $\beta\ge\frac{\rho_1}{n-2-nm}$ 时）径向对称奇异解 $g_{\lambda}\in C^{\infty}(R^n\setminus\{0\})$，满足 $\displaystyle\lim_{|x|\to 0}|x|^{\alpha/\beta}g_{\lambda}(x)=\lambda^{-\frac{\rho_1}{(1-m)\beta}}$。当 $\beta$ 足够大时，我们证明了上述椭圆方程的径向对称解在 $|x|\to\infty$ 时的高阶渐近行为。我们还获得了上述方程径向对称解的反演公式。作为推论，我们将证明快扩散方程 $u_t=\Delta u^m$ 的解 $u$ 在 $R^n\times (0,T)$ 中于熄灭时间 $T>0$ 附近的熄灭行为。