一类具有非线性源的快扩散系统解的熄灭

本文研究了快扩散系统 $u_t=\mathrm{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)+v^m$, $v_t=\mathrm{div}(|\nabla v|^{q-2}\nabla v)+u^n$ 解的有限时间熄灭问题，其中 $1<p,q<2$，$m,n>0$，且 $\Omega\subset \mathbb{R}^N\ (N\geq1)$ 是一个有界光滑区域。在建立了弱解的局部存在性后，作者表明：若 $mn>(p-1)(q-1)$，则只要初始数据“可比较”，任何解都会在有限时间内消失；若 $mn=(p-1)(q-1)$ 且 $\Omega$ 足够小，则利用 De Giorgi 迭代过程和比较方法证明了小初始数据下熄灭解的存在性。另一方面，对于 $1<p=q<2$ 且 $mn<(p-1)^2$ 的情况，证明了对于任意正光滑初始数据，至少存在一个非熄灭解。