快扩散方程的 Neumann 解与奇异解的存在性

设 $\Omega$ 为 $\R^n$ 中的光滑有界域，$n\ge 3$，$0<m\le\frac{n-2}{n}$，$a_1,a_2,..., a_{i_0}\in\Omega$，$\delta_0=\min_{1\le i\le i_0}{dist }(a_i,\partial\Omega)$，并令 $\Omega_{\delta}=\Omega\setminus\cup_{i=1}^{i_0}B_{\delta}(a_i)$ 且 $\hat{\Omega}=\Omega\setminus\{a_1\,...,a_{i_0}\}$。对于任意 $0<\delta<\delta_0$，我们将证明方程 $u_t=\Delta u^m$ 在 $\Omega_{\delta}\times (0,T)$ 上的 Neumann 问题正解的存在性与唯一性，其中 $T>0$。我们还将证明该方程在 $\hat{\Omega}\times (0,T)$ 上奇异解的存在性，其中 $T>0$，且这些解在点 $a_1,..., a_{i_0}$ 处发生爆破。