快速扩散方程新自相似解的存在性

设 $n\ge 3$，$0<m<\frac{n-2}{n}$，$\eta>0$，$\eta_0>0$，$\rho_1>0$，$-\frac{\rho_1}{2}<\beta<\frac{m\rho_1}{n-2-nm}$ 且 $\alpha=\frac{2\beta+\rho_1}{1-m}$。我们将证明方程 $\Delta(f^m/m)+\alpha f+\beta x\cdot\nabla f=0$，$f>0$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中存在满足 $f(0)=\eta_0$，$f_r(0)=0$ 的径向对称解。当改取 $\beta<\frac{m\rho_1}{n-2-nm}$ 时，我们还将证明方程 $\Delta(f^m/m)+\alpha f+\beta x\cdot\nabla f=0$，$f>0$ 在 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 中存在满足 $\lim_{x\to\infty}|x|^{\frac{n-2}{m}}f(x)=\eta$ 的径向对称解。作为推论，若 $f_1$、$f_2$ 是上述两个问题在 $\rho_1=1$ 时的解，则函数 $V_i(x,t)=(T-t)^{\alpha}f_i(T-t)^{\beta} x)$，$i=1,2$，分别是快速扩散方程 $u_t=\Delta (u^m/m)$ 在 $\mathbb{R}^n\times (-\infty,T)$ 与 $(\mathbb{R}^n\setminus\{0\})\times (-\infty,T)$ 中的后向自相似解。