快扩散方程解的整体行为

我们将推广 B. Choi 和 P. Daskalopoulos (\cite{CD}) 的一个近期结果。对于任意 $n\ge 3$、$0<m<\frac{n-2}{n}$、$m\ne\frac{n-2}{n+2}$、$\beta>0$ 及 $\lambda>0$，我们证明了 $\mathbb{R}^n$ 中方程 $\frac{n-1}{m}\Delta v^m+\frac{2\beta}{1-m} v+\beta x\cdot\nabla v=0$ 的径向对称解 $v_{\lambda,\beta}(r)$（满足 $v(0)=\lambda$）在 $r\to\infty$ 时的高阶展开。作为推论，对于任意 $n\ge 3$ 且 $0<m<\frac{n-2}{n}$，若 $u$ 是 $\mathbb{R}^n\times (0,\infty)$ 上方程 $u_t=\frac{n-1}{m}\Delta u^m$ 的解，其初值 $0\le u_0\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 在 $|x|\to\infty$ 时满足 $u_0(x)^{1-m}=\frac{2(n-1)(n-2-nm)}{(1-m)\beta |x|^2}\left(\log |x|-\frac{n-2-(n+2)m}{2(n-2-nm)}\log (\log |x|)+K_1+o(1))\right)$（对于某常数 $\beta>0$ 及 $K_1\in\mathbb{R}$），则当 $t\to\infty$ 时，重标度函数 $\widetilde{u}(x,t)=e^{\frac{2\beta}{1-m}t}u(e^{\beta t}x,t)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 的每个紧子集上一致收敛于 $v_{\lambda_1,\beta}$（对于某常数 $\lambda_1>0$）。