快速扩散方程正解的尖锐灭绝速率

设 $s \in (0, 1]$ 且 $N > 2s$。已知关于分数扩散方程 $\partial_t u + (-\Delta)^s (u^{\frac{N-2s}{N+2s}}) = 0$ 在 $(0, \infty) \times \mathbb R^N$ 上的正解，在满足适当光滑性初始数据的条件下，会在某个有限时间 $T_* > 0$ 后消失。更精确地说，已知 $\frac{u(t,\cdot)}{U_{T_*, z, \lambda}(t,\cdot)} - 1 =o(1)$ 当 $t \to T_*^-$ 时 holds for certain extinction profile $U_{T_*, z, \lambda}$，在 $\mathbb R^N$ 上均匀。本文我们证明定量不等式 $\frac{u(t,\cdot)}{U_{T_*, z, \lambda}(t,\cdot)} - 1 = \mathcal O( (T_*-t)^{\frac{N+2s}{N-2s+2}})$ 在自然加权能量范数中成立。此处指数 $\frac{N+2s}{N-2s+2}$ 是尖锐的。这相当于Bonforte和Figalli（CPAM, 2021）在 $s = 1$ 且有界域 $\Omega \subset \mathbb R^N$ 情形下的近似结果。我们的结果在局部情形 $s = 1$ 中也为新结果。我们克服的主要障碍是关联线性算子的退化，这在有界域情形中通常不发生。对于光滑有界域 $\Omega \subset \mathbb R^N$，我们证明了关于 $(0, \infty) \times \Omega$ 上的正解 $\partial_t u + (-\Delta)^s (u^m) = 0$ 具有Dirichlet边界条件时 $s \in (0,1)$ 且 $m \in (\frac{N-2s}{N+2s}, 1)$ 的类似结果，在某种非退性假设下。此处一个重要步骤是证明相对误差的收敛，这在该情形下是新的。