分数阶 NLS 散射的尖锐判据

本文得到了分数阶非线性薛定谔方程在 $L^2$-超临界情形下散射的尖锐阈值，即，若 $1+\frac{4s}{N}<p<1+\frac{4s}{N-2s}$，且 $$M[u_{0}]^{\frac{s-s_c}{s_c}}E[u_{0}]<M[Q]^{\frac{s-s_c}{s_c}}E[Q], \ M[u_{0}]^{\frac{s-s_c}{s_c}}\| u_{0}\|^2_{\dot H^s}<M[Q]^{\frac{s-s_c}{s_c}}\| Q\|^2_{\dot H^s}$$ 则解 $u(t)$ 全局适定且散射。该条件在以下意义上是尖锐的：若 $1+\frac{4s}{N}<p<1+\frac{4s}{N-2s}$ 且 $$M[u_{0}]^{\frac{s-s_c}{s_c}}E[u_{0}]<M[Q]^{\frac{s-s_c}{s_c}}E[Q], \ M[u_{0}]^{\frac{s-s_c}{s_c}}\| u_{0}\|^2_{\dot H^s}>M[Q]^{\frac{s-s_c}{s_c}}\| Q\|^2_{\dot H^s},$$ 则根据 Boulenger、Himmelsbach 和 Lenzmann 在 [2] 中的结果，相应的解 $u(t)$ 在有限时间内爆破。